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证明余弦定理(精选多篇)

时间:2023-08-20 00:37:22
证明余弦定理(精选多篇)[此文共2154字]

第一篇:怎么证明余弦定理

怎么证明余弦定理

证明余弦定理:

因为过c作cd垂直于ab,ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。

又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2,所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2,

所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2,

所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2,

所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa,

所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c对边为c,∠b对边为b,∠a对边为a-->

bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知:

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

……此处隐藏2654个字……a)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可证asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得:

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

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